Totalmente ilusionado

Un espacio métrico (X, d) se dirá "totalmente acotado" si y solamente si cumple la siguiente propiedad:
\forall r>0, \exists x_1, .. .x_k \in X tal que \cup_{i=1}^k B(x_i, r) \supseteq X
Se cumple que todo espacio totalmente acotado es también acotado. Además, todo compacto es totalmente acotado. Esta propiedad es útil precisamente para demostrar compacidad, pues se tiene que existe equivalencia entre ser compacto y ser totalmente acotado y completo. De hecho....